初手思案について

「キープします。フェッチから島持ってきて思案を打ちます」
多分100回以上この作業をしたとは思うが、最近この流れに疑問を抱いている。
今後のためにもコレについてまとめておく。

1.状況別確率
思案を打った時の対応を状況別にみていくと

A.トップ3枚全てが有効牌の時
→シャッフルはせずに、並び替えるだけ
B.トップ3枚の内2枚が有効牌の時
→3枚目に不要牌を仕込むorシャッフル
C.トップ3枚の内1枚が有効牌の時
→1枚目に有効牌を仕込むorシャッフル
D.トップ3枚全てが不要牌の時
→シャッフル

この4パターンになる。
各パターンの発生確率を考えていこう。

デッキ枚数が53枚、有効牌がX枚の時のBとCの発生確率は
A:X*(X-1)*(X-2)/53*52*51
B:3*X*(X-1)*(53-X)/53*52*51
C:3*X*(53-X)*(52-X)/53*52*51
D:(53-X)*(52-X)*(51-X)/53*52*51
となるので、有効牌が4*nの場合にパターンBとCが起こる確率(%)を計算すると

有効牌の枚数　パターンA　パターンB　パターンC　パターンD
　　　 4　　　　 0.02　　　 1.26　　　20.08　　　78.65
　　　 8　　　　 0.24　　　 5.38　　　33.81　　　60.57
　　　12　　　　 0.94　　　11.55　　　42.00　　　45.50
　　　16　　　　 2.39　　　18.95　　　45.49　　　33.17
　　　20　　　　 4.87　　　26.77　　　45.08　　　23.29
　　　24　　　　 8.64　　　34.17　　　41.59　　　15.60
　　　28　　　　13.98　　　40.34　　　35.86　　　 9.82
　　　32　　　　21.17　　　44.46　　　28.69　　　 5.68
　　　36　　　　30.48　　　45.72　　　20.90　　　 2.90
　　　40　　　　42.18　　　43.29　　　13.32　　　 1.22
　　　44　　　　56.54　　　36.34　　　 6.76　　　 0.36
　　　48　　　　73.83　　　24.08　　　 2.05　　　 0.04

このような確率になる。

3.初手思案のデメリット
初手思案の問題点は、「フェッチを使って不要牌を弾けない」と言う部分にあるので、これについて考えていく。
初手に思案を打った場合と、打たなかった場合での差は次のターンのドローがランダムになるということにある。
よって、デッキに有効牌がX枚ある場合に初手に思案を打った場合と打たなかった場合のシナリオを考える。
この時の考える範囲として
・思案によるドロー
・2ターン目の最初のドロー
・3ターン目の最初のドロー
の内の有効牌の期待値を考える(要は、キープ後の3枚のドロー内容について考える)。
いずれも、思案を打った時に、パターンD以外はシャッフルせずトップが不要牌とわかっている場合は2ターン目以降はフェッチを切ることが出来ると仮定する。
(フェッチを1回切るとデッキ枚数が1枚減ることに注意)

初手に打った場合の期待値は
・パターンAの確率*3枚
・パターンBの確率*(2枚+(X-2)/50枚)
・パターンCの確率*(1枚+0枚(確定の不要牌)+(X-1)/50枚)
・パターンDの確率*((X/53枚)+(X-1)/52枚+(X-2)/51枚)
の合計である。
同様に2ターン目に打った場合の期待値は
(ここ、計算が本当に複雑になるので、すこし計算式を簡略化しました)
・パターンAの確率*2枚 + (X-2/51枚)
・パターンBの確率*2枚 + (X-2/50枚)
・パターンCの確率*1枚+((X-1)/51枚)+((X-2)/50枚)
・パターンDの確率*((X/53枚)+(X-1)/52枚+(X-2)/51枚)
の合計になる。
例によって有効牌が4*n枚の場合で、ゲーム開始後に引いた3枚のカードに含まれる有効牌の期待値を計算すると、

有効牌の枚数　初手　2ターン目
　　　 4　　　0.375 0.382
　　　 8　　　0.75　0.79
　　　12　　　1.09　1.16
　　　16　　　1.39　1.49
　　　20　　　1.67　1.78
　　　24　　　1.92　2.04
　　　28　　　2.16　2.26
　　　32　　　2.38　2.44
　　　36　　　2.57　2.59
　　　40　　　2.74　2.72
　　　44　　　2.88　2.82
　　　48　　　2.97　2.90

となった。比較すると有向牌がデッキに40枚以上無いと、初手に思案を打った場合にその後のドローの質が低下することが分かる。
このことから、初手思案よりも2ターン目思案の方が肯定される。


4.結局、どっちがいいの
こうして見てみると、初手と2ターン目の思案の差は最大でも0.12枚(8ゲームやって、1枚の差が出るかどうかと言ったライン)であるため、ごくごく小さなものと言える。
ミラクル側にとって、2ターン目思案の問題点は
・相殺やアズカンタを置けない
・対抗呪文や予報を構えられない
という部分がある。そのため、この差が大きな相手(例えば、ANTなどのコンボ相手や1ターン目から脅威を展開するデルバー系デッキ)では初手思案をするべきだし、
ミラーマッチなどではキレ相殺やキレアズカンタに魅力を感じないので、初手思案ではなく2ターン目思案をしたほうがいいと思う。